Zapisz się

Podzielność, NWD i NWW

Akademia matmy · Egzamin ósmoklasisty

Liczby i działania

Podzielność, NWD i NWW

Jak podzielić słodycze na równe paczki i kiedy dwa autobusy znowu odjadą razem? Wystarczą NWD i NWW.

Klasy 6–8 · ok. 45 minut · 19 zadań

Podzielność, NWD i NWW

Data:

Temat:

Podzielność, NWD i NWW

Na tej lekcji nauczysz się

  • jak sprawdzić, czy liczba dzieli się przez 2, 3, 4, 5, 9 i 10,
  • czym są liczby pierwsze i złożone,
  • jak rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze,
  • jak znaleźć NWD i NWW i do czego się przydają.

Plan lekcji

  1. Wprowadzenie
  2. Przykłady
  3. Ćwiczymy razem
  4. Zadania
  5. Podsumowanie
  6. Kartkówka

1

Podzielność, NWD i NWW

1Wprowadzenie

12 cukierków rozdasz po równo 1, 2, 3, 4, 6 albo 12 osobom, bo te liczby dzielą 12. To dzielniki liczby 12.

NWD (największy wspólny dzielnik) pomaga dzielić rzeczy na równe paczki. NWW (najmniejsza wspólna wielokrotność) mówi, kiedy dwie powtarzające się rzeczy znowu się spotkają.

Cechy podzielności

przez 2
ostatnia cyfra parzysta
przez 5
ostatnia cyfra 0 lub 5
przez 10
ostatnia cyfra 0
przez 3
suma cyfr dzieli się przez 3
przez 9
suma cyfr dzieli się przez 9
przez 4
dwie ostatnie cyfry dzielą się przez 4

Zapamiętaj

pierwsza = dokładnie 2 dzielniki

Liczby pierwsze: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … Liczba 1 nie jest ani pierwsza, ani złożona.

2

Podzielność, NWD i NWW

2Przykłady

Przeczytaj spokojnie każdy krok.

Przykład 1: cechy podzielności

Czy liczba 2 145 dzieli się przez 3? A przez 5?

  1. Suma cyfr: 2 + 1 + 4 + 5 = 12, a 12 dzieli się przez 3.
  2. Ostatnia cyfra to 5.

2 145 dzieli się i przez 3, i przez 5.

Przykład 2: paczki ze słodyczamiZ życia

Masz 18 lizaków i 24 cukierki. Chcesz zrobić jak najwięcej jednakowych paczek, bez resztek. Ile paczek zrobisz?

  1. Szukasz NWD(18, 24).
  2. Dzielniki 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Dzielniki 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
  3. Największy wspólny to 6.

6 paczek, w każdej 3 lizaki i 4 cukierki.

3

Podzielność, NWD i NWW

2 · Przykłady (ciąg dalszy)

Przykład 3: autobusyZ życia

Autobus nr 1 odjeżdża co 4 minuty, a nr 2 co 6 minut. Oba odjechały razem o 8:00. Kiedy znowu odjadą razem?

  1. Szukasz NWW(4, 6).
  2. Wielokrotności 4: 4, 8, 12, 16, … Wielokrotności 6: 6, 12, 18, …
  3. Pierwsza wspólna to 12.

Znowu odjadą razem o 8:12.

4

Podzielność, NWD i NWW

3Ćwiczymy razem

Uzupełnij kolejne kroki i kliknij „Sprawdź”. Przy błędzie dostaniesz podpowiedź.

Ćwiczenie 1

Rozłóż liczbę 60 na czynniki pierwsze.

5

Podzielność, NWD i NWW

3 · Ćwiczymy razem (ciąg dalszy)

Ćwiczenie 2

Znajdź NWD(36, 48), korzystając z rozkładów: 36 = 2 · 2 · 3 · 3 oraz 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3.

6

Podzielność, NWD i NWW

3 · Ćwiczymy razem (ciąg dalszy)

Ćwiczenie 3

Znajdź NWW(6, 8).

7

Podzielność, NWD i NWW

4Zadania

Rozgrzewka · Proste zadania na rozruch.

Zadanie 1Rozgrzewka

Ile wynosi NWD(12, 18)?

Zadanie 2Rozgrzewka

Ile wynosi NWW(4, 10)?

Zadanie 3Rozgrzewka

Która liczba jest pierwsza?

8

Podzielność, NWD i NWW

4 · Zadania (ciąg dalszy)

Rozgrzewka

Zadanie 4Rozgrzewka

Prawda czy fałsz? Liczba 4 374 dzieli się przez 9.

9

Podzielność, NWD i NWW

4 · Zadania

Trening · Typowe zadania. Licz spokojnie.

Zadanie 5Trening

Ile wynosi NWD(42, 56)?

Zadanie 6Trening

Ile wynosi NWW(9, 12)?

Zadanie 7Trening

Ile dzielników ma liczba 20?

10

Podzielność, NWD i NWW

4 · Zadania

Trening

Zadanie 8Trening

Jaka jest najmniejsza liczba pierwsza większa od 30?

Zadanie 9Trening

Ile wynosi NWD(45, 75)?

11

Podzielność, NWD i NWW

4 · Zadania

Wyzwanie · Zadania z treścią. Najpierw przeczytaj uważnie.

Zadanie 10Wyzwanie

Kwiaciarka ma 48 róż i 36 tulipanów. Chce zrobić z nich jak najwięcej jednakowych bukietów. Ile róż będzie w jednym bukiecie?

Zadanie 11Wyzwanie

Dwie lampki migają: pierwsza co 6 sekund, druga co 9 sekund. Właśnie mignęły razem. Po ilu sekundach znowu mrugną jednocześnie?

12

Podzielność, NWD i NWW

4 · Zadania

Wyzwanie

Zadanie 12Wyzwanie

Płytki mają wymiary 20 cm × 30 cm. Jaki najmniejszy kwadrat da się ułożyć z całych płytek, ustawionych tak samo? Podaj długość boku.

Zadanie 13Wyzwanie

Wojtek układał kulki po 4, po 6 i po 9 i za każdym razem nic nie zostało. Ma mniej niż 50 kulek. Ile ma kulek?

13

Podzielność, NWD i NWW

5Podsumowanie

Notatka do zeszytu

  • Przez 3 i przez 9: patrzysz na sumę cyfr.
  • Przez 2, 5 i 10: patrzysz na ostatnią cyfrę.
  • Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie.
  • NWD → dzielenie na równe części (paczki, bukiety).
  • NWW → kiedy coś znowu się spotka (autobusy, lampki).

Najczęstsze błędy

Źle1 jest liczbą pierwszą

Dobrze1 nie jest ani pierwsza, ani złożona

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki, a 1 ma tylko jeden.

14

Podzielność, NWD i NWW

5 · Podsumowanie (ciąg dalszy)

ŹleNWW(4, 6) = 4 · 6 = 24

DobrzeNWW(4, 6) = 12

Iloczyn liczb jest wspólną wielokrotnością, ale nie zawsze najmniejszą. Sprawdź najpierw mniejsze.

15

Podzielność, NWD i NWW

6Kartkówka

6 pytań bez podpowiedzi, jak w szkole. Na czas kartkówki książka się zamknie.

Wolisz poćwiczyć na kartce?

16

Akademia matmy · Egzamin ósmoklasisty

Lekcja za tobą

Podzielność, NWD i NWW

Następna lekcjaDzielenie z resztą →
← Program pakietu
← Egzamin ósmoklasisty

Okładka

Liczby i działania · Klasy 6–8

Data: ______________

Temat: Podzielność, NWD i NWW

Liczby i działania · Klasy 6–8

Na tej lekcji nauczysz się

1. Wprowadzenie

12 cukierków rozdasz po równo 1, 2, 3, 4, 6 albo 12 osobom, bo te liczby dzielą 12. To dzielniki liczby 12.

NWD (największy wspólny dzielnik) pomaga dzielić rzeczy na równe paczki. NWW (najmniejsza wspólna wielokrotność) mówi, kiedy dwie powtarzające się rzeczy znowu się spotkają.

Cechy podzielności

przez 2
ostatnia cyfra parzysta
przez 5
ostatnia cyfra 0 lub 5
przez 10
ostatnia cyfra 0
przez 3
suma cyfr dzieli się przez 3
przez 9
suma cyfr dzieli się przez 9
przez 4
dwie ostatnie cyfry dzielą się przez 4

Zapamiętaj

pierwsza = dokładnie 2 dzielniki

Liczby pierwsze: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … Liczba 1 nie jest ani pierwsza, ani złożona.

2. Przykłady

Przykład 1: cechy podzielności

Czy liczba 2 145 dzieli się przez 3? A przez 5?

  1. Suma cyfr: 2 + 1 + 4 + 5 = 12, a 12 dzieli się przez 3.
  2. Ostatnia cyfra to 5.

2 145 dzieli się i przez 3, i przez 5.

Przykład 2: paczki ze słodyczamiZ życia

Masz 18 lizaków i 24 cukierki. Chcesz zrobić jak najwięcej jednakowych paczek, bez resztek. Ile paczek zrobisz?

  1. Szukasz NWD(18, 24).
  2. Dzielniki 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Dzielniki 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
  3. Największy wspólny to 6.

6 paczek, w każdej 3 lizaki i 4 cukierki.

Przykład 3: autobusyZ życia

Autobus nr 1 odjeżdża co 4 minuty, a nr 2 co 6 minut. Oba odjechały razem o 8:00. Kiedy znowu odjadą razem?

  1. Szukasz NWW(4, 6).
  2. Wielokrotności 4: 4, 8, 12, 16, … Wielokrotności 6: 6, 12, 18, …
  3. Pierwsza wspólna to 12.

Znowu odjadą razem o 8:12.

3. Ćwiczymy razem

  1. Rozłóż liczbę 60 na czynniki pierwsze.
    1. 60 : 2 = ________
    2. 30 : 2 = ________
    3. 15 : 3 = ________
    4. Zostało 5, liczba pierwsza. Ile czynników ma rozkład 60 = 2 · 2 · 3 · 5? ________
  2. Znajdź NWD(36, 48), korzystając z rozkładów: 36 = 2 · 2 · 3 · 3 oraz 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3.
    1. Ile dwójek występuje w obu rozkładach naraz? ________
    2. Ile trójek występuje w obu rozkładach naraz? ________
    3. NWD = 2 · 2 · 3 = ________
  3. Znajdź NWW(6, 8).
    1. Wielokrotności 8: 8, 16, 24, … Która pierwsza dzieli się przez 6? ________
    2. Sprawdzenie: 24 : 6 = ________
    3. I jeszcze: 24 : 8 = ________

4. Zadania

  1. Ile wynosi NWD(12, 18)? Odpowiedź: ______________
  2. Ile wynosi NWW(4, 10)? Odpowiedź: ______________
  3. Która liczba jest pierwsza? A. 21 B. 27 C. 29 D. 33
  4. Prawda czy fałsz? Liczba 4 374 dzieli się przez 9. Prawda Fałsz
  5. Ile wynosi NWD(42, 56)? Odpowiedź: ______________
  6. Ile wynosi NWW(9, 12)? Odpowiedź: ______________
  7. Ile dzielników ma liczba 20? Odpowiedź: ______________
  8. Jaka jest najmniejsza liczba pierwsza większa od 30? Odpowiedź: ______________
  9. Ile wynosi NWD(45, 75)? Odpowiedź: ______________
  10. Kwiaciarka ma 48 róż i 36 tulipanów. Chce zrobić z nich jak najwięcej jednakowych bukietów. Ile róż będzie w jednym bukiecie? Odpowiedź: ______________
  11. Dwie lampki migają: pierwsza co 6 sekund, druga co 9 sekund. Właśnie mignęły razem. Po ilu sekundach znowu mrugną jednocześnie? Odpowiedź: ______________
  12. Płytki mają wymiary 20 cm × 30 cm. Jaki najmniejszy kwadrat da się ułożyć z całych płytek, ustawionych tak samo? Podaj długość boku. Odpowiedź: ______________
  13. Wojtek układał kulki po 4, po 6 i po 9 i za każdym razem nic nie zostało. Ma mniej niż 50 kulek. Ile ma kulek? Odpowiedź: ______________

5. Podsumowanie

Źle1 jest liczbą pierwszą

Dobrze1 nie jest ani pierwsza, ani złożona

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki, a 1 ma tylko jeden.

ŹleNWW(4, 6) = 4 · 6 = 24

DobrzeNWW(4, 6) = 12

Iloczyn liczb jest wspólną wielokrotnością, ale nie zawsze najmniejszą. Sprawdź najpierw mniejsze.

6. Kartkówka

  1. Ile wynosi NWD(16, 24)? Odpowiedź: ______________
  2. Ile wynosi NWW(5, 6)? Odpowiedź: ______________
  3. Która liczba dzieli się przez 3? A. 124 B. 215 C. 342 D. 401
  4. Prawda czy fałsz? 51 jest liczbą pierwszą. Prawda Fałsz
  5. Ile dzielników ma liczba 18? Odpowiedź: ______________
  6. Tramwaj odjeżdża co 10 minut, a autobus co 15 minut. Odjechały razem o 7:00. Po ilu minutach znowu odjadą razem? Odpowiedź: ______________
Powrót do strony głównej